Monter l'expérience des trois mires
Trois perches, un tube de PVC percé, une lunette. À 2 km les deux modèles prédisent des lectures qui diffèrent de 68 mm — une après-midi suffit. Matériel, fabrication du puits de tranquillisation, protocole, feuille de relevé et règles de rejet écrites à l'avance.
Trois perches, un tube de PVC percé, une lunette. À deux kilomètres, les deux modèles prédisent des lectures qui diffèrent de sept centimètres — visibles à l'œil nu sur une règle graduée. Une après-midi suffit pour le premier résultat.
Avant de commencer
Cet article est le mode d'emploi. L'analyse — l'état des campagnes menées depuis 1870, la question de la réfraction, le raisonnement sur l'exposant — se trouve dans Mesurer la courbure sur l'eau : cinq campagnes, et celle qui manque. Ici, on construit.
Toutes les prédictions données plus bas sont figées depuis le 2 août 2026 dans un fichier public daté, content/reseau/protocole-cote-trois-mires.json v1.1. Elles ne seront pas recalculées après une mesure, et l'historique Git rendrait visible toute modification. C'est ce qui distingue cette expérience d'une démonstration : le résultat n'est pas décidé à l'avance, et les trois issues possibles sont écrites.
Aucun prérequis. Si vous savez planter un piquet droit et lire une règle, vous savez faire cette mesure.
01L'expérience en une image
Vous plantez trois perches identiques dans un plan d'eau calme, mesurées depuis la ligne d'eau et non depuis le fond. Appelons-les A, B et C. A et C sont éloignées d'une distance D ; B est exactement au milieu, et sa partie haute porte une graduation en millimètres.
Vous montez l'œil au sommet de A, vous visez le sommet de C, et vous lisez le chiffre inscrit sur B là où votre ligne de visée croise sa graduation.
Le dispositif complet. La courbure est très exagérée sur ce schéma : à 10 km, la flècheFlècheHauteur dont le milieu d'un arc dépasse la corde qui joint ses extrémités. Sur une sphère de rayon R, une corde de longueur D donne une flèche f = D² / (8R) : 19,6 mm sur 1 km, 1 962 mm sur 10 km. C'est la grandeur mesurée par le montage à trois mires. Voir Mesurer la courbure sur l'eau. réelle vaut 1,96 m pour des perches de 4,00 m.
Pourquoi ce montage plutôt qu'un autre : c'est l'eau qui fait le nivellementNivellementMesure de différences d'altitude de proche en proche, par lectures successives sur deux mires encadrant un niveau. Le nivellement direct ne suppose aucune forme de Terre : il compare deux hauteurs voisines et rien d'autre. Précision courante : 2 mm par kilomètre de cheminement. Voir Par rapport à quoi mesure-t-on une altitude ?.. Trois repères calés sur la ligne d'eau sont à la même hauteur par construction. Pas de cheminement, pas de carte, pas de coordonnées, pas de système de référence à admettre. La seule chose que vous apportez est une ligne de visée, et une ligne de visée est droite.
Tendez une corde entre deux poteaux. Si le sol entre les deux est bombé, un troisième poteau planté au milieu — de la même hauteur — dépassera la corde. S'il est plat, il l'affleurera pile. L'eau sert juste à garantir que les trois poteaux font vraiment la même hauteur : impossible de tricher, l'eau se met d'elle-même au même niveau partout.
02Par où commencer : la version à deux kilomètres
N'essayez pas les 10 km du premier coup. Commencez à 2 km, et voici pourquoi le chiffre est bien choisi.
À cette distance, le modèle sphérique prédit une flèche de 68 millimètres avec une réfraction moyenne, et de 52 mm dans le cas nocturne le plus défavorable. Le modèle plan prédit zéro, exactement. Sept centimètres d'écart entre les deux prédictions, sur une règle graduée : ça se voit à l'œil nu, sans instrument de précision.
Et une seule séance de trois lectures suffit à trancher. L'incertitude calculée est de 12,9 mm, soit un rapport signal sur bruit de 6,1 — bien au-delà du seuil habituel de 3 en dessous duquel un résultat ne vaut rien.
| À 2 km, une séance de trois lectures | Incertitude | Signal / bruit | Verdict |
|---|---|---|---|
| sans puits de tranquillisation | 71,8 mm | 1,1 | ne conclut rien |
| avec puits de tranquillisation | 12,9 mm | 6,1 | tranche |
Regardez la première ligne. C'est tout l'enjeu de la section 04 : sans le tube, la même expérience, au même endroit, le même jour, ne conclut absolument rien. Ce n'est pas la distance qui manque, ni l'instrument — c'est de savoir à quelle hauteur commence la perche.
À deux kilomètres, une seule après-midi de mesures suffit à séparer les deux prédictions à plus de six écarts-types. Ce n'est pas une expérience de laboratoire ni une campagne lourde : c'est une sortie en barque, à condition d'avoir monté le puits de tranquillisation.
03Le protocole
Matériel
Ordres de grandeur, à ajuster selon ce que vous trouvez. Rien n'est spécialisé sauf la mire, et elle s'emprunte.
| Élément | Spécification | Pourquoi |
|---|---|---|
| 3 perches identiques | 4,00 m, section constante, aluminium ou PVC rigide | La hauteur commune est ce qui remplace tout un nivellement |
| 3 tubes PVC | diamètre 75 à 100 mm, longueur 1,20 m | Les puits de tranquillisation — voir section 04 |
| 1 mire graduée | graduation millimétrique sur 2,50 m | Se fixe sur la perche B ; c'est la seule qui se lit |
| 1 lunette de visée ou niveau de chantier | sur trépied, compensateur DÉSACTIVÉ | Voir l'avertissement du protocole ci-dessous |
| 3 lests | quelques kilos par perche | Stabilité, et verticalité tenue |
| 1 fil à plomb | — | Vérifier la verticalité à 1 cm près sur 4 m |
| 1 télémètre laser ou GPS | précision métrique suffisante | Poser D et placer B au milieu à 0,5 % près |
| Thermomètre, baromètre, anémomètre | — | Consigner les conditions : sans elles la séance n'est pas interprétable |
La lunette est le seul poste qui peut coûter cher. Un niveau de chantier d'occasion fait l'affaire, et une base nautique, un lycée à section topographie ou un cabinet de géomètres en prête volontiers.
Protocole
- Choisir un plan d'eau sans marée et une journée calme. La marée déplacerait la ligne d'eau entre l'installation de A et la lecture sur B, ce qui ruine tout le principe.
- Monter les trois puits de tranquillisation sur les perches (section 04).
- Planter A et C, distants de D, alignés avec B au milieu à 0,5 % près. Vérifier la verticalité au fil à plomb.
- Caler la hauteur des trois perches sur la ligne d'eau lue dans le tube, et non sur l'eau libre. Les trois sommets doivent être à 4,00 m de cette ligne, au millimètre.
- Installer la lunette avec l'oculaire au sommet exact de A. Désactiver tout compensateur et toute bulle automatique.
- Viser le sommet de C. Lire la graduation de B au croisement. Noter.
- Recommencer deux fois, à dix minutes d'intervalle, en relevant à chaque fois température de l'air, température de l'eau, pression, vent et visibilité.
- Ne jamais corriger, ne jamais moyenner sur le terrain, ne jamais écarter une lecture parce qu'elle « paraît fausse ». Les trois lectures brutes sont le résultat.
Le point 5 est le plus important, et le plus facile à rater. Un compensateur se cale sur la verticale locale, laquelle tourne avec la surface. Il ramènerait la visée à l'horizontale de chaque endroit au lieu de la laisser droite, et il effacerait exactement ce qu'on cherche à mesurer. Plusieurs firmwares de station appliquent cette correction en silence : vérifiez avant de partir.
Et pas de laser. À 20 km, la tache d'un laser de chantier atteint plusieurs mètres et une erreur d'inclinaison d'un centième de degré — invisible à l'œil — produit 3,50 m d'écart, soit la moitié de la grandeur cherchée. C'est ce qui a fait échouer la campagne FECORE de 2018 sur le lac Balaton. Mire graduée et visée optique, uniquement.
Ce que vous verrez dans l'oculaire, selon le modèle. Le réticule est posé sur le sommet de C ; la lecture se fait là où il croise la graduation de B.
Ce qui se passe
Deux issues, et une seule règle graduée pour les départager.
Si la surface est plane, le sommet de B se pose exactement sur votre ligne de visée. Vous lisez 4,000 m — la hauteur de la perche — et vous lirez la même chose à 1 km comme à 10 km. La lecture ne bouge jamais.
Si la surface est courbe, le sommet de B est plus haut que la ligne A–C, et votre visée croise la graduation en dessous du sommet. À 2 km vous lisez 3,932 m ; à 5 km, 3,573 m ; à 10 km, 2,293 m.
Vous n'avez pas à calculer quoi que ce soit sur le terrain. Vous notez un nombre de millimètres, trois fois, avec la météo. C'est tout. Le nombre lu est déjà le résultat : soit il vaut 4,000 m à toutes les distances, soit il descend comme le carré de la distance.
Ce que ça change
Une flèche mesurée à une seule distance se discute indéfiniment, parce qu'on peut toujours invoquer la réfraction du jour. La série, elle, ne se discute pas de la même façon.
La réfraction agit par un facteur multiplicatif : elle rabote la flèche d'un certain pourcentage, le même à toutes les distances. Elle ne peut donc pas changer la façon dont la flèche grandit. Doublez la distance, elle quadruple. Triplez-la, elle est neuf fois plus grande. Aucune condition atmosphérique ne transforme un « quatre fois » en un « deux fois ».
C'est pour cela que la série complète compte sept distances au lieu d'une seule, et c'est ce que personne n'a jamais publié.
04Fabriquer le puits de tranquillisation
C'est la pièce qui décide de tout, et elle coûte une quinzaine d'euros.
Le problème est simple à énoncer : votre perche doit être mesurée depuis la ligne d'eau, mais sur un plan d'eau libre, cette ligne monte et descend de dix centimètres avec le clapot. Vous ne savez donc pas à dix centimètres près où commence votre perche — alors que vous cherchez des millimètres.
La solution date des marégraphesMarégrapheAppareil enregistrant en continu la hauteur de la mer. Celui de Marseille, installé à l'anse Calvo entre 1883 et 1884, définit le zéro des altitudes françaises à partir de la moyenne observée sur 1885-1896. Voir Par rapport à quoi mesure-t-on une altitude ?. du XIXe siècle. On entoure la perche d'un tube plongeur percé de trous fins en partie basse. L'eau y entre et en sort lentement : le tube suit le niveau moyen mais ignore les vagues. La ligne d'eau y devient lisible à cinq millimètres au lieu de cent.
Coupe d'une perche équipée. À gauche l'eau libre, indéterminée à ± 100 mm ; dans le tube, la même eau au repos, lisible à ± 5 mm.
Un flotteur dans un seau percé ne monte ni ne descend avec chaque vaguelette : l'eau met du temps à passer par les petits trous, donc il ne suit que le niveau moyen. C'est exactement ce que fait ce tube autour de la perche.
Fabrication, en quatre gestes
- Un tube PVC de 75 à 100 mm de diamètre, longueur 1,20 m, coupé droit.
- Percer une douzaine de trous de 8 mm répartis sur les 60 cm inférieurs. Plus gros, le tube laisse passer les vagues ; plus petits, il met trop longtemps à suivre une variation lente du niveau.
- Le fixer autour de la perche par deux colliers, de façon qu'il dépasse d'environ 25 cm au-dessus de la ligne d'eau prévue et de 90 cm en dessous.
- Tracer un repère net sur la perche à l'endroit où l'eau affleure à l'intérieur du tube, une fois l'ensemble stabilisé. C'est de ce repère que se mesurent les 4,00 m.
Sans puits, à 2 km, le rapport signal sur bruit vaut 1,1 : l'expérience ne conclut rien. Avec le puits, il vaut 6,1. Le facteur limitant de ce dispositif n'est ni la distance, ni la lunette, ni la courbure — c'est de savoir où commence la perche.
05La feuille de relevé et les règles de rejet
Les règles ci-dessous sont écrites avant les séances. C'est ce qui les rend honnêtes : elles ne peuvent pas être ajustées après coup pour écarter une mesure gênante.
Une séance est écartée si les trois lectures s'écartent de plus de 20 % de leur médiane ; si un mirage est visible à l'œil ou au capteur — image dédoublée, inversée ou étirée ; si le vent dépasse 8 m/s, car les perches vibrent ; si les trois lectures de ligne d'eau d'une même station s'écartent de plus de 10 mm ; si l'écart de température entre l'air et l'eau dépasse 5 K ; ou si une perche s'écarte de la verticale de plus de 1 cm sur 4 m.
Toute séance rejetée est publiée quand même, avec sa lecture brute et le motif du rejet. Le nombre de séances écartées et leur répartition font partie du résultat.
Pour chaque lecture, notez : la date et l'heure à la minute, la distance D, la lecture sur B en millimètres, la hauteur d'eau lue dans chacun des trois tubes, la température de l'air et celle de l'eau, la pression, le vent, l'état du ciel et la visibilité.
Pourquoi tant de météo pour une mesure de longueur ? Parce que l'air chaud et l'air froid ne courbent pas la lumière de la même façon. Sans les conditions du moment, une lecture isolée n'est pas interprétable — et c'est précisément le reproche qu'on peut faire à presque toutes les campagnes menées avant celle-ci.
06La série complète : sept distances
Une fois la version à 2 km réussie, la campagne complète consiste à refaire exactement le même montage à sept distances, avec les mêmes perches de 4,00 m.
| D (A–C) | A–B et B–C | Lecture si plan | Lecture si sphère (k = 0,13) | Flèche attendue | Flèche minimale (k = 0,34) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 km | 500 m | 4,000 m | 3,983 m | 17,1 mm | 12,9 mm |
| 1,5 km | 750 m | 4,000 m | 3,962 m | 38,4 mm | 29,1 mm |
| 2 km | 1000 m | 4,000 m | 3,932 m | 68,3 mm | 51,8 mm |
| 3 km | 1500 m | 4,000 m | 3,846 m | 153,6 mm | 116,5 mm |
| 5 km | 2500 m | 4,000 m | 3,573 m | 426,7 mm | 323,7 mm |
| 7 km | 3500 m | 4,000 m | 3,164 m | 836,4 mm | 634,5 mm |
| 10 km | 5000 m | 4,000 m | 2,293 m | 1707,0 mm | 1294,9 mm |
Un point de conception mérite d'être signalé, parce qu'il n'est pas évident : une seule hauteur de perche couvre les sept configurations. Même à 10 km, la visée passe encore 2,04 m au-dessus de l'eau au point milieu. C'est ce qui rend les sept mesures comparables entre elles — et donc ce qui permet de tracer la courbe.
Comptez dix séances retenues par distance, réparties sur cinq journées distinctes au minimum, matin et après-midi obligatoirement représentés. Cette exigence n'est pas de la prudence excessive : moyenner dix séances ne réduit le bruit de réfraction que si ces séances échantillonnent des états atmosphériques indépendants. Dix séances faites le même jour ne valent pas dix séances.
Au total : 210 lectures, environ 14 heures d'observation, cinq à huit journées de terrain selon la météo.
07Ce que le résultat établira
Portez la flèche mesurée en fonction de la distance et lisez la pente de la courbe. Trois issues, écrites à l'avance et avec le même soin.
Issue 1 — la surface est plane. Si la flèche reste indiscernable de zéro sur les sept configurations, en particulier sous 600 mm à 10 km, alors la surface des eaux est plane sur cette plage. C'est ce qui sera publié, sans atténuation ni commentaire.
Issue 2 — la surface est courbe. Si la pente vaut 2,00 à 0,10 près et que le rayon déduit tombe à 25 % près autour de 6 371 km après correction de la réfraction, la courbure est établie sur cette plage.
Issue 3 — non concluant. Pente comprise entre 1,2 et 1,8, ou dispersion entre séances supérieure à 40 % : la campagne est déclarée non concluante et publiée comme telle. Un résultat non concluant n'est pas un échec ; c'est ce qui manque le plus dans ce dossier.
Avec dix séances par distance, l'incertitude calculée sur la pente vaut 0,027. Une pente de 2,000 se sépare donc d'une pente de 1,000 — signature d'un artefact optique ou d'un gradient thermique régulier — à plus de 36 écarts-types, et du modèle plan à plus de 73.
Un protocole qui ne peut pas donner tort à celui qui le tient ne vaut rien. Les trois issues sont écrites avec le même soin, l'issue plane est formulée en premier, et les prédictions sont horodatées dans un dépôt public depuis le 2 août 2026.
08Sources
- Dépôt du site,
content/reseau/protocole-cote-trois-mires.jsonv1.1, 2 août 2026 : pré-enregistrement des prédictions, budget d'erreur poste par poste, règles de rejet et règle de décision. Généré parscripts/generer-protocole-cote.py, qui reproduit chaque chiffre de cet article. - Dépôt du site,
content/reseau/lettre-campagne-cote.mdv1.1 : lettre de sollicitation adressée aux bases nautiques, lycées à section topographie, IUT et cabinets de géomètres. - Schémas :
scripts/generer-schemas-cote.py, avec contrôle automatique de débordement et de chevauchement des textes. - Hirt, C., Guillaume, S., Wisbar, A., Bürki, B., Sternberg, H. (2010). « Monitoring of the refraction coefficient in the lower atmosphere using a controlled setup of simultaneous reciprocal vertical angle measurements ». Journal of Geophysical Research: Atmospheres, 115, D21102. doi:10.1029/2010JD014067. Source des valeurs de k utilisées ici.
- Szekely, S., Cavanaugh, M. (2018). Laser Level Experiments Measuring Curvature Over Water Surface. FECORE Inc. Campagne des lacs Balaton et IJssel — l'échec instrumental qui justifie l'exclusion du laser.
- Wallace, A. R. (1905). My Life: A Record of Events and Opinions, vol. II. Récit du pari Hampden de 1870 sur le canal Old Bedford, premier emploi documenté du montage à trois repères de hauteur égale.
- Article lié : Mesurer la courbure sur l'eau : cinq campagnes, et celle qui manque — l'état de l'art et le raisonnement sur l'exposant.
- Article lié : Par rapport à quoi mesure-t-on une altitude ? — pourquoi une surface équipotentielleÉquipotentielleSurface le long de laquelle un objet ne monte ni ne descend : en tout point, elle est perpendiculaire au fil à plomb. La surface d'une eau calme en est une. Conséquence pratique : une équipotentielle épouse la forme de la Terre au lieu de la révéler, ce qui rend tout instrument recalé sur elle aveugle à cette forme. Voir Mesurer la courbure sur l'eau. ne peut pas servir de référence de forme.